Рудольф Климке родился 8 ноября 1890 г. в Мерзебурге. С 12 октября 1910 г. проходил срочную службу в артиллерийском полку №75, а когда началась Первая мировая война, попал в полевой артиллерийский полк № 10, где служил до своего перевода в авиацию 8 августа 1915 г.
Климке был определен в FFA 55 в 1916 г., затем в FA 50 и, наконец, в FA 19, прежде чем был направлен в Kampfstaffel 13, входившую в KG 3. Он одержал одну победу в FA 55 на Восточном фронте.
Будучи уже официрштелльфертретером, в ночь с 6-го на 7 мая 1917 г. он и его наблюдатель, обер-лейтенант Вальтер Леон, вылетели на одиночную бомбардировку Лондона на самолете Albatros С.VII из FA 19 KG 3, поднявшемся в воздух с аэродрома в Хандзоме, неподалеку от Остенде.
Летчики сбросили пять 22-фунтовых бомб на Хакни и Холлоуэй, и, хотя их рейд был санкционирован непосредственным командиром, они получили выговор, поскольку эта акция не получила одобрения вышестоящего начальства.
Вскоре после перевода Рудольфа Климке в KG 3, он и еще два члена экипажа бомбардировщика Gotha (Леон и вице-фельдфебель Риентроп) приняли участие в другом налете на Лондон, проведенном 7 июля, и, согласно их собственному показанию, сбили в ходе его один британский аэроплан Sopwith. В этом бою британцы потеряли два самолета, в то время как немецкие участники рейда (22 бомбардировщика Gotha) заявили о трех сбитых ими аэропланах.
Климке решил стать истребителем и после подготовки в Jastaschule I прибыл 12 сентября в Jasta 27. В ней он прослужил больше года, пока не был трижды ранен в плечо в бою 21 сентября 1918 г. против истребителя Bristol Fighter. Хотя ему и удалось удачно приземлиться на своем аэродроме, немецкий ас погиб в госпитале во время его бомбежки. На счету летчика было 22 воздушные победы.
Рудольф Климке  был награжден Железным крестом 1-го класса.